【题目】已知函数.
(1)当时,求的极值;
(2)若是函数的两个极值点,求的取值范围.
【答案】(1),;(2).
【解析】
(1)由题意知,函数的定义域为,对函数进行求导,利用导数判断函数的单调性并求其极值即可;
(2)对函数进行求导,设,根据函数极值点的定义转化为有二不等正根,,利用一元二次方程根的分布的相关知识求出的取值范围,利用韦达定理求出之间的关系,通过作差求出的表达式,设,则,通过构造函数并对其求导判断单调性求其最值即可求出的取值范围.
(1)由题意知,函数的定义域为,
因为,
所以可得之间的关系如下表:
1 | |||||
| 0 |
| 0 |
| |
| 极大值 |
| 极小值 |
|
∴由表中的数据可知,
,.
(2)由题意知,,
设,
因为函数存在两个极值点,
所以有二不等正根,,
∴,解得,
因为,是方程的两根,
由韦达定理可得,,,即,
由可得,,
由可得,
∴,
∵,,∴,
设,则,
所以,∴在上单调递减,
∴,即的取值范围为.
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【题目】我国全面二孩政策已于2016年1月1日起正式实施.国家统计局发布的数据显示,从2012年到2017年,中国的人口自然增长率变化始终不大,在5‰上下波动(如图).
为了了解年龄介于24岁至50岁之间的适孕夫妻对生育二孩的态度如何,统计部门按年龄分为9组,每组选取150对夫妻进行调查统计有生育二孩意愿的夫妻数,得到下表:
年龄区间 | |||||||||
有意愿数 | 80 | 81 | 87 | 86 | 84 | 83 | 83 | 70 | 66 |
(1)设每个年龄区间的中间值为,有意愿数为,求样本数据的线性回归直线方程,并求该模型的相关系数(结果保留两位小数);
(2)从,,,,这五个年龄段中各选出一对夫妻(能代表该年龄段超过半数夫妻的意愿)进一步调研,再从这5对夫妻中任选2对夫妻.求其中恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的概率.
(参考数据和公式:,,,,,)
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【题目】随着手机的发展,“微信”逐渐成为人们支付购物的一种形式.某机构对“使用微信支付”的态度进行调查,随机抽取了50人,他们年龄的频数分布及对“使用微信支付”赞成人数如下表.
年龄 (单位:岁) | , | , | , | , | , | , |
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 5 | 10 | 12 | 7 | 2 | 1 |
(Ⅰ)若以“年龄45岁为分界点”,由以上计数据完成下面列联表,并判断是否有99%的把握认为“使用微信支付”的态度与人的年龄有关;
年龄不低于45岁的人数 | 年龄低于45岁的人数 | 合计 | |
赞成 | |||
不赞成 | |||
合计 |
(Ⅱ)若从年龄在的被调查人中按照赞成与不赞成分层抽样,抽取5人进行追踪调查,在5人中抽取3人做专访,求3人中不赞成使用微信支付的人数的分布列和期望值.
参考数据:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
,其中.
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【题目】在棱长为1的正方体中,已知点P为侧面上的一动点,则下列结论正确的是( )
A.若点P总保持,则动点P的轨迹是一条线段;
B.若点P到点A的距离为,则动点P的轨迹是一段圆弧;
C.若P到直线与直线的距离相等,则动点P的轨迹是一段抛物线;
D.若P到直线与直线的距离比为,则动点P的轨迹是一段双曲线.
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【题目】如图为某市国庆节7天假期的商品房日认购量(单位:套)与日成交量(单位:套)的折线图,则下面结论中正确的是( )
A.日成交量的中位数是16
B.日成交量超过日平均成交量的有1天
C.日认购量与日期是正相关关系
D.日认购量的方差大于日成交量的方差
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【题目】下列判断正确的是( )
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 命题“若,则”的否命题为“若,则”
C. 命题“,”的否定是“,”
D. 若命题“”为假命题,则命题,都是假命题
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【题目】交强险是车主必须为机动车购买的险种,若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为元,在下一年续保时,实行的是费率浮动机制,且保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系.发生交通事故的次数越多,费率也就越高,具体浮动情况如下表:
交强险浮动因素和费率浮动比率表 | ||
浮动因素 | 浮动比率 | |
上一个年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮 | |
上两个年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮 | |
上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮 | |
上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 | ||
上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 | 上浮 | |
上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 | 上浮 |
某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况,随机抽取了60辆车龄已满三年该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况,统计得到了下面的表格:
类型 | ||||||
数量 | 10 | 5 | 5 | 20 | 15 | 5 |
(1)求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率;
(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车,且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损5000元,一辆非事故车盈利10000元.且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致,完成下列问题:
①若该销售商店内有6辆(车龄已满三年)该品牌二手车,某顾客欲在店内随机挑选2辆车,求这2辆车恰好有一辆为事故车的概率;
②若该销售商一次购进120辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求一辆车盈利的平均值.
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【题目】《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用,是东方古代数学的名著.在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,“九儿问甲歌”就是其中一首:“一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.”这首歌决的大意是:“一位老公公有九个儿子,九个儿子从大到小排列,相邻两人的年龄差三岁,并且儿子们的年龄之和为207岁,请问大儿子多少岁,其他几个儿子年龄如何推算.”在这个问题中,记这位公公的第个儿子的年龄为,则( )
A.17B.29C.23D.35
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【题目】已知抛物线焦点为,直线过与抛物线交于两点.到准线的距离之和最小为8.
(1)求抛物线方程;
(2)若抛物线上一点纵坐标为,直线分别交准线于.求证:以为直径的圆过焦点.
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