Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=A₁B₁，AC₁⊥平面A₁BD，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求证：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；

Answer 1

（Ⅰ）证明：如图，连接AB₁与A₁B相交于M，则M为A₁B的中点，
连接MD，D又为AC的中点，
∴B₁C∥MD．
又B₁C不包含于平面A₁BD，MD?平面A₁BD，B₁C∥平面A₁BD
∴B₁C∥平面A₁BD．（5分）
（Ⅱ）∵AB=B₁B∴四边形ABB₁A₁为正方形
∴A₁B⊥AB₁
又∵AC₁⊥面A₁BD，∴AC₁⊥A₁B，
∴A₁B⊥面AB₁C₁，
∴A₁B⊥B₁C₁，
又在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中BB₁⊥B₁C₁，
∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁（9分）