Question

已知复数均为实数，为虚数单位，且对于任意复数。
（1）试求的值，并分别写出和用、表示的关系式；
（2）将(、)作为点的坐标，(、)作为点的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点变到这一平面上的点，
当点在直线上移动时，试求点经该变换后得到的点的轨迹方程；
（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。

Answer 1

（1）
（2）点的轨迹方程为
（3）这样的直线存在，其方程为或

（1）由题设，，
于是由，                           
因此由，
得关系式                                
（2）设点在直线上，则其经变换后的点满足
，                                  
消去，得，
故点的轨迹方程为                       
（3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，
∴所求直线可设为，                           
法一：∵该直线上的任一点，其经变换后得到的点
仍在该直线上，
∴，
即，
当时，方程组无解，
故这样的直线不存在。                                           
当时，由
得，
解得或，
故这样的直线存在，其方程为或，                      
法二：取直线上一点，其经变换后的点仍在该直线上，
∴，
得，                                           
故所求直线为，取直线上一点，其经变换后得到的点仍在该直线上。
∴，                                   
即，得或，
故这样的直线存在，其方程为或，