Question

2．设f（x）=x-$\frac{a-1}{x}$-alnx，a∈R．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}+ln2）$处的切线方程；
（2）当a＞1时，若x=1是函数f（x）的极大值点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（$\frac{1}{2}$）的值，从而求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而判断函数的极大值点，求出a的值即可．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x-lnx，$f'（x）=1-\frac{1}{x}$，
所以曲线y=f（x）在点$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}+ln2）$处的切线的斜率为$f'（\frac{1}{2}）=1-\frac{1}{{\frac{1}{2}}}=-1$．
所求切线方程为$y-（\frac{1}{2}+ln2）=-（x-\frac{1}{2}）$，即x+y-ln2-1=0．
（2）$f'（x）=\frac{{a{x^2}-ax+a-1}}{x^2}=\frac{（x-1）[x-（a-1）]}{x^2}（x＞0）$，令f'（x）=0得x₁=1，x₂=a-1，由已知a-1＞0，
①当a-1＜1即1＜a＜2时，f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（0，a-1）	a-1	（a-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

由表知x=1是函数f（x）的极小值点，不合题意；
②当a-1=1即a=2时，f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	+
f（x）	递增	非极值	递增

由表知x=1不是函数f（x）的极值点，不合题意；
③当a-1＞1即a＞2时，f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，a-1）	a-1	（a-1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

由表知x=1是函数f（x）的极大值点，符合题意；
综上，当a＞2时x=1是函数f（x）的极大值点，即所求取值范围是（2，+∞）．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．