Question

16．在△ABC中，AD是BC边上的中线，AD=AC=1，∠CAD=90°．求：
（1）AB边长；
（2）sin（∠BAC+45°）．

Answer 1

分析 （1）先求出BD=$DC=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$，∠ADB=135°，由此利用余弦定理能求出AB．
（2）由正弦定理得sin∠BAC，利用同角三角函数关系式再求出cos∠BAC，由此利用正弦加法定理能求出sin（∠BAC+45°）．

解答 解：（1）∵在△ABC中，AD是BC边上的中线，AD=AC=1，∠CAD=90°，
∴BD=$DC=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$，∠ADB=135°，
∴AB=$\sqrt{1+2-2×1×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{5}$．
（2）由正弦定理得$\frac{AB}{sin∠C}=\frac{BC}{sin∠BAC}$，
∴$\frac{\sqrt{5}}{sin45°}$=$\frac{2\sqrt{2}}{sin∠BAC}$，解得sin∠BAC=$\frac{2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵∠BAC是钝角，∴cos∠BAC=-$\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sin（∠BAC+45°）=sin∠BACcos45°+cos∠BACsin45°
=$\frac{2\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}$
=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查三角形中边长的求法，考查三角函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理的合理运用．