Question

13．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AC=AA₁=4，∠ABC=90°；
（1）求三棱锥B₁-A₁BC₁的体积V；
（2）求异面直线A₁B与AC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）三棱锥B₁-A₁BC₁的体积V=${V}_{B-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，由此能求出结果．
（2）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A₁B与AC所成角的余弦值．

解答 解：（1）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AC=AA₁=4，∠ABC=90°，
∴△A₁B₁C₁的面积S=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴三棱锥B₁-A₁BC₁的体积：
V=${V}_{B-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×S×A{A}_{1}$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×4$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
（2）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A₁（2，0，4），A（2，0，0），B（0，0，0），C（0，2$\sqrt{3}$，0），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（-2，0，-4），$\overrightarrow{AC}$=（-2，2$\sqrt{3}$，0），
设异面直线A₁B与AC所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}B}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{4}{\sqrt{20}•\sqrt{16}}$=$\frac{\sqrt{5}}{10}$．
∴异面直线A₁B与AC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{10}$．

点评 本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．