Question

【题目】已知p：x∈R，x2+2x≥a，q：x2﹣4x+3≤0，r：（x﹣m）[x﹣（m+1）]≤0．

（1）若命题p的否定是假命题，求实数a的取值范围；

（2）若q是r的必要条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) （﹣∞，﹣1]，(2) [1，2]．

【解析】

（1）由命题间的关系，即求命题为真时，的取值范围，利用二次函数的性质，可求得结果；

（1）求出命题为真时，的集合，q是r的必要条件，转化为集合间关系，即可求出的取值范围.

p：x∈R，x2+2x≥a，q：x2﹣4x+3≤0，r：（x﹣m）[x﹣（m+1）]≤0，

∴根据二次函数的性质可知，x2+2x的最小值﹣1，

故P：a≤﹣1，

由x2﹣4x+3≤0可得1≤x≤3，

由（x﹣m）[x﹣（m+1）]≤0，可得m≤x≤m+1，

故q：A＝[1，3]，r：B＝[m，m+1]，

（1）若命题p的否定是假命题，即p为真命题，

故a的范围（﹣∞，﹣1]，

（2）若q是r的必要条件，则rq，从而有BA，

∴，

解可得，1≤m≤2，

故m的范围[1，2]．