Question

已知圆O：x²+y²=1，直线l：y=

3

3

(x+4)．
（1）设圆O与x轴的两交点是F₁，F₂，若从F₁发出的光线经l上的点M反射后过点F₂，求以F₁，F₂为焦点且经过点M的椭圆方程；
（2）点P是x轴负半轴上一点，从点P发出的光线经l反射后与圆O相切．若光线从射出经反射到相切经过的路程最短，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用对称求出2a，F₁F₂=2c，由题意可求椭圆方程；
（2）作出图形，由题意可知图中P的对称点到圆O的切线长最短，就是过原点O且与l垂直的直线与l′的交点．

解答：解（1）如图，由光学几何知识可知，点F₁关于l的对称点F₁′
在过点A（-4，0）且倾斜角为60°的直线l′上．
在△AF₂F₁′中，椭圆长轴长2a=MF1+MF2=

F

/ 1

F2=

19

，
又椭圆的半焦距c=1，∴b2=a2-c2=

15

4

，
∴所求椭圆的方程为

x2

19 4

+

y2

15 4

=1；
（2）光线从射出经反射到相切经过的路程最短，即为l′上的点P′到圆O的切线长最短，
由几何知识可知，P′应为过原点O且与l垂直的直线与l′的交点，
这一点又与点P关于l对称，∴AP=AP′=2，故点P的坐标为（-2，0）．

点评：本题考查椭圆的定义，直线和圆的位置关系，对称知识，最值问题，知识点多；
考查数形结合的数学思想，等价转化的思想，是难题，高考易考点．