Question

四棱锥A-BCDE的正视图和俯视图如下，其中正视图是等边三角形，俯视图是直角梯形．
（I）若F为AC的中点，当点M在棱AD上移动时，是否总有BF丄CM，请说明理由．
（II）求三棱锥的高．

Answer 1

解：（Ⅰ）总有BF丄CM．理由如下：
取BC的中点O，连接AO，
由俯视图可知，AO⊥平面BCDE，CD?平面BCDE，
所以AO⊥CD …（2分）
又CD⊥BC，AO∩BC=O，所以CD⊥面ABC，
因为BF?面ABC，
故CD⊥BF．
因为F是AC的中点，所以BF⊥AC．…（4分）
又AC∩CD=D
故BF⊥面ACD，
因为CM?面ACD，所以BF丄CM．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AO⊥平面BCDE，，
又在正△ABC中，AO=，
所V_A-CDE==，…（8分）
在直角△ABE中，AE=，
在直角梯形BCDE中，DE=，
在直角△ACD中，AD=2，
在△ADE中，S_△ADE===，…（10分）
设三棱锥C-ADE的高为h，则V_C-ADE=，
又V_A-CDEV=_C-ADE，
可得，解得h=．
所以，三棱锥C-ADE的高为．…（12分）
分析：（Ⅰ）总有BF丄CM．取BC的中点O，连接AO，由AO⊥平面BCDE，可得AO⊥CD，可证CD⊥面ABC，有CD⊥BF，根据F是AC的中点，可得BF⊥AC，从而可得BF⊥面ACD，进而可得BF丄CM；
（Ⅱ）先计算V_A-CDE==，设三棱锥C-ADE的高为h，再计算V_C-ADE=，利用V_A-CDEV=_C-ADE，即可求得三棱锥C-ADE的高．
点评：本题考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，掌握线面垂直的判定，正确计算体积是关键．