Question

17．设f（x）是定义在[-1，1]上的函数，且满足f（-x）=-f（x），函数g（x）=f（-x），且当x∈（0，1]时，g（x）=lnx-ax²．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对于区间（0，1]上任意的x，都有|f（x）|≥1成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）的奇偶性分别求出f（x）在（0，1]，[-1，0）以及x=0时的解析式，
（2）分情况讨论a的符号，采用分离参数法得出a≥$\frac{lnx+1}{{x}^{2}}$，转化为函数恒成立问题求解．

解答 解：（1）∵g（x）=f（-x）=-f（x），
∴当x∈（0，1]时，f（x）=-g（x）=ax²-lnx，
当x∈[-1，0）时，-x∈（0，1]，∴f（-x）=ax²-ln（-x）．
∴f（x）=-f（-x）=ln（-x）-ax²．
∵f（-x）=-f（x），∴f（0）=-f（0），∴f（0）=0．
综上，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln（-x）-a{x}^{2}，-1≤x＜0}\\{0，x=0}\\{a{x}^{2}-lnx，0＜x≤1}\end{array}\right.$．
（2）当x∈（0，1]时，f（x）=ax²-lnx，
若a=0，则|f（x）|=-lnx，显然当x=1时，|f（x）|=0，不符合题意．
若a＜0，作出y=ax²和y=lnx的图象如图，
由函数图象可得：存在x₀∈（0，1）使得ax₀²-lnx₀=0，即|f（x₀）|=0，不符合题意．
若a＞0，则ax²＞0，lnx＜0，∴|f（x）|=ax²-lnx≥1．∴a≥$\frac{lnx+1}{{x}^{2}}$，
令h（x）=$\frac{lnx+1}{{x}^{2}}$，则h′（x）=$\frac{-1-2lnx}{{x}^{3}}$，令h′（x）=0，解得x=e${\;}^{-\frac{1}{2}}$．
∴当0＜x＜e${\;}^{-\frac{1}{2}}$时，h′（x）＞0，当e${\;}^{-\frac{1}{2}}$＜x≤1时，h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，e${\;}^{-\frac{1}{2}}$）上单调递增，在（e${\;}^{-\frac{1}{2}}$，1]上单调递减．
∴当x=e${\;}^{-\frac{1}{2}}$时，h（x）取得最大值$\frac{e}{2}$．
∵对于区间（0，1]上任意的x，都有|f（x）|≥1成立，
∴a≥$\frac{lnx+1}{{x}^{2}}$恒成立，∴a≥$\frac{e}{2}$．
∴a的取值范围是[$\frac{e}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了函数奇偶性的性质，函数恒成立问题的求解以及分类讨论思想，属于中档题．