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已知数列a_n满足 $数学公式$
（1）求数列a_n的通项公式a_n；
（2）设 $数学公式$ ，求数列b_n的前n项和S_n；
（3）设 $数学公式$ ，，数列c_n的前n项和为T_n．
求证：对任意的 $数学公式$

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
又∵ $\text{[math]}$ ，所以数列 $\text{[math]}$ （n∈N^*）是以3为首项，-2为公比的等比数列，
∴ $\text{[math]}$ ．
（2）b_n=（3×2^n-1+1）²
=9•4^n-1+6•2^n-1+1，
∴ $\text{[math]}$
=3•4ⁿ+6•2ⁿ+n-9．
（3）证明：由（1）知 $\text{[math]}$ ，当n≥3时，则 $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
又∵T₁＜T₂＜T₃，
∴对任意的n∈N^*，T_n $\text{[math]}$ ．（12分）
分析：（1）由题意知 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，再由 $\text{[math]}$ ，知数列 $\text{[math]}$ （n∈N^*）是以3为首项，-2为公比的等比数列，由此可求出数列a_n的通项公式a_n．
（2）由题设知b_n=（3×2^n-1+1）²=9•4^n-1+6•2^n-1+1，所以 $\text{[math]}$
=3•4ⁿ+6•2ⁿ+n-9．
（3）由题意知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，再由T₁＜T₂＜T₃，知对任意的n∈N^*，T_n $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查数列的应用和性质，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用，注意积累解题方法．

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