Question

14．已知Ω是集合{（x，y）|0≤x≤6，0≤y≤4}所表示图形边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点）的集合，集合D={（6，0），（-6，0），（0，4），（0，-4），（4，-4），（-4，4），（2，-2），（-2，2）}．规定：
（1）对于任意的a=（x₁，y₁）∈Ω，b=（x₂，y₂）∈D，a+b=（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=（x₁+x₂，y₁+y₂）
（2）对于任意的k∈N^*，序列a_k，b_k满足：
①a_k∈Ω，b_k∈D
②a₁=（0，0），a_k=a_k-1+b_k-1，k≥2，k∈N^*
（Ⅰ） 求a₂
（Ⅱ） 证明：?k∈N^*，a_k≠（5，0）
（Ⅲ） 若a_k=（6，2），写出满足条件的k的最小值及相应的a₁，a₂，…，a_k．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据新定义即可求出a₂=（6，0）或（0，4），
（Ⅱ）利用反证法即可证明，
（Ⅲ）由新定义可得k_min=5，相应的a₁，a₂，…，a_k．

解答 解：（Ⅰ）对于任意的b=（x₂，y₂）∈D，a₁+b=（0，0）+（x₂，y₂）=（x₂，y₂）
若（x₂，y₂）∈Ω，则（x₂，y₂）=（6，0），或（x₂，y₂）=（0，4），
故a₂=（6，0）或（0，4），
（Ⅱ） 证明：假设命题不成立，即?k∈N^*，使a_k=（5，0）
即?b_i∈D，i=1，2，…，k-1（k≥2），使a₁+$\sum_{i=1}^{k-1}{b}_{i}$=a_k，化简得$\sum_{i=1}^{k-1}{b}_{i}$=（5，0），
所以存在m，n，p∈Z，且m+n+p=k-1，使6m+4n+2p=5．
又因为6m+4n+2p=2（3m+2n+p）是偶数，而5是奇数，与6m+4n+2p=5矛盾，
故假设不成立，即：?k∈N^*，a_k≠（5，0），
（Ⅲ）k_min=5，a₁=（0，0），a₂=（0，4），a₃=（4，0），a₄=（4，4），a₅=（6，2）．

点评 本题考查了新定义的知识的应用，关键是读懂新定义，以及反证法，属于中档题．