Question

8．在△ABC中，已知P为△ABC内一点（不包括边界），证明：S_△PAB•$\overrightarrow{PC}$+S_△PBC•$\overrightarrow{PA}$+S_△PCA•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{0}$．

Answer 1

分析 可画出图形，连接AP并延长交BC于D，连接BP交AC于E，连接CP交AB于F，然后过A作BE的平行线，交CF的延长线于M，作CF的平行线，交BE延长线于N，从而得到平行四边形AMPN，根据相似三角形对应边的比例关系可以得到$\frac{AM}{PB}=\frac{AF}{FB}，\frac{AN}{PC}=\frac{AE}{EC}$，从而得到$\overrightarrow{AP}=\frac{AF}{FB}•\overrightarrow{PB}+\frac{AE}{EC}•\overrightarrow{PC}$．可以说明S_△PCA：S_△PBC=AF：FB，S_△PAB：S_△PBC=AE：EC，这样便可得出${S}_{△PAB}•\overrightarrow{PC}+{S}_{△PBC}•\overrightarrow{PA}+{S}_{△PCA}•\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{0}$．

解答 解：如图，连接AP，并延长AP交BC于D，连结BP并延长交AC于E，连结CP并延长交AB于F，过A作AM∥BE交CF延长线于M，作AN∥CF交BE延长线于N，则四边形AMPN为平行四边形；
∴$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}$，且△AMF∽△BPF；
∴$\frac{AM}{PB}=\frac{AF}{FB}$；
同理，$\frac{AN}{PC}=\frac{AE}{EC}$；
∴$\overrightarrow{AM}=\frac{AF}{FB}•\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{AN}=\frac{AE}{EC}•\overrightarrow{PC}$；
∴$\overrightarrow{AP}=\frac{AF}{FB}•\overrightarrow{PB}+\frac{AE}{EC}•\overrightarrow{PC}$；
∵△PCA和△PBC有公共的底边PC，设它们的高分别为h₁，h₂，则：
S_△PAC：S_△PBC=h₁：h₂=AF：FB，同理S_△PAB：S_△PBC=AE：EC；
∴$\overrightarrow{AP}=\frac{{S}_{△PAC}}{{S}_{△PBC}}•\overrightarrow{PB}+\frac{{S}_{△PAB}}{{S}_{△PBC}}•\overrightarrow{PC}$；
∴${S}_{△PAB}•\overrightarrow{PC}+{S}_{△PBC}•\overrightarrow{PA}+{S}_{△PCA}•\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{0}$．

点评 考查数形结合解题的方法，向量加法的平行四边形法则，相似三角形的判断及对应边的比例关系，向量数乘的几何意义，以及三角形的面积公式，向量的数乘运算．