Question

设x₁，x₂∈R，常数a＞0，定义运算“*”：x₁*x₂=（x₁+x₂）²-（x₁-x₂）²．
（1）若x≥0，求动点P(x，

x*a

)的轨迹C的方程；
（2）若a=2，不过原点的直线l与x轴、y轴的交点分别为T，S，并且与（1）中的轨迹C交于不同的两点P，Q，试求

| ST |

| SP |

+

| ST |

| SQ |

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设P（x₁，y₁），欲求出动点P的轨迹方程，只须求出x，y的关系式即可，结合新定义运算．动点 P(x，

x*a

)的轨迹C的方程即 y=

x*a

，代入定义的运算，即可得轨迹C的方程
（2）由题意得y²=8x（y≥0），设直线l：x=my+c，由已知m＞0，c＜0，将S，T，P，Q的坐标代入

| ST |

| SP |

+

| ST |

| SQ |

可知只需求x_p+x_q，x_p•x_q，将直线与曲线联立后即可得x_p+x_q，x_p•x_q，代入即得

| ST |

| SP |

+

| ST |

| SQ |

与m的函数关系，求范围即可

解答：解：（1）设y=

x*a

=

(x+a)2-(x-a)2

=

4ax

∴动点P的轨迹C的方程为：y²=4ax（y≥0）…6
（2）由题意得y²=8x（y≥0），设直线l：x=my+c，由已知m＞0，c＜0
则T（c，0）．S，T，P，Q都在直线l上，
∴

| ST |

| SP |

+

| ST |

| SQ |

=

|0-c|

|xP-0|

+

|0-c|

|xQ-0|

=|c|(

1

|xP|

+

1

|xQ|

)，
由题得c＜0，x_P＞0，x_Q＞0
∴

| ST |

| SP |

+

| ST |

| SQ |

=-c(

1

xP

+

1

xQ

)=

-c(xP+xQ)

xPxQ

由

y2=8x x=my+c

消去y得x²-（2c+8m²）x+c²=0
∴

△=32m2(2m2+c)＞0 xP+xQ=2c+8m2＞0 xPxQ=c2＞0

∵c＜0，∴m2＞-

1

2

c∴

m2

c

＜-

1

2

∴

| ST |

| SP |

+

| ST |

| SQ |

=2-

8m2

c

＞2
即

| ST |

| SP |

+

| ST |

| SQ |

的取值范围是（2，+∞）…（14分）

点评：本题的考点是轨迹方程，主要考查轨迹方程，利用新定义，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，考查了直线与曲线的位置关系，一元二次方程根的分布等知识，属于中档题