Question

1．从装有n个球（其中n-1个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0＜m≤n-1，m，n∈N^*），共有$C_n^m$种取法．在这$C_n^m$种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，一类是取出的m个球中白球m-1个，则共有$C_1^0•C_{n-1}^m+C_1^1•C_{n-1}^{m-1}=C_1^0•C_n^m$，即有等式：$C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}=C_n^m（{0＜m≤n-1，m，n∈{N^*}}）$成立．试根据上述思想化简下列式子：C${\;}_{n}^{m}$+C${\;}_{k}^{1}$．C${\;}_{n}^{m-1}$+C${\;}_{k}^{2}$．C${\;}_{n}^{m-2}$+…+C${\;}_{k}^{k}$．C${\;}_{n}^{m-k}$=${C}_{n+k}^{m}$．（1≤k＜m≤n，k，m，n∈N）

Answer 1

分析 根据题意，在式子：C_n^m+C_k¹•C_n^m-1+C_k²•C_n^m-2+…+C_k^k•C_n^m-k中，从第一项到最后一项分别表示：
从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，
故答案应为：从装有n+k球中取出m个球的不同取法数，根据排列组合公式，即得答案．

解答 解：在C_n^m+C_k¹•C_n^m-1+C_k²•C_n^m-2+…+C_k^k•C_n^m-k中，
从第一项到最后一项分别表示：
从装有n个白球，k个黑球的袋子里，
取出m个球的所有情况取法总数的和，
又从装有n+k个球中取出m个球的不同取法数为C_n+k^m；
所以C${\;}_{n}^{m}$+C${\;}_{k}^{1}$．C${\;}_{n}^{m-1}$+C${\;}_{k}^{2}$．C${\;}_{n}^{m-2}$+…+C${\;}_{k}^{k}$．C${\;}_{n}^{m-k}$=$C_{n+k}^m$．
故答案为：${C}_{n+k}^{m}$．

点评 本题考查了推理和排列组合的应用问题，解题的关键是结合已知条件进行分析，从而给出正确答案．