Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2（n=1，2，3…），数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线y=x+2上．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式a_n和b_n； 
（2）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n，并求满足T_n＜167的最大正整数n．

Answer 1

分析：（1）两式作差即可求数列{a_n}的相邻两项之间的关系，找到规律即可求出通项；对于数列{b_n}，直接利用点P（b_n，b_n+1）在直线y=x+2上，代入得数列{b_n}是等差数列即可求通项；
（2）先把所求结论代入求出数列{c_n}的通项，再利用数列求和的错位相减法即可求出其各项的和，然后解不等式即可．

解答：解：S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，又S_n-S_n-1=a_n，（n≥2，n∈N^*）

∴an=2an-2an-1， ∵an≠0，

．
∴

an

an-1

=2，(n≥2，n∈N*)，即数列{an}是等比数列．

∵a1=S1

，∴a1=2a1-2，即a1=2，
∴a_n=2ⁿ
∵点P（b_n，b_n+1）在直线y=x+2上，∴b_n+1=b_n+2∴b_n+1-b_n=2，即数列{b_n}是等差数列，又b₁=1，∴b_n=2n-1
（2）∵c_n=（2n-1）2ⁿ，∴T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）2ⁿ，
∴2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）2ⁿ+（2n-1）2ⁿ⁺¹因此：-T_n=1×2+（2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ）-（2n-1）2ⁿ⁺¹
即：-T_n=1×2+（2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）-（2n-1）2ⁿ⁺¹∴T_n=（2n-3）2ⁿ⁺¹+6

∵Tn＜167，即：(2n-3)2n+1+6＜167， 于是(2n-3)2n+1＜161 又由于当n=4时，(2n-3)2n+1=(2×4-3)25=160， 当n=5时，(2n-3)2n+1=(2×5-3)26=448， 故满足条件Tn＜167的最大正整数n为4

点评：本题考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．属于中档题．