Question

已知函数f（x）同时满足下列五个条件：
（1）f（x+1）的定义域为[-5，3]；
（2）f（x）+f（-x）=0；
（3）f（-1）=0；
（4）在[-4，0）上单调递减；
（5）没有最大值；
试解不等式x³f（x）≤0．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：依题意，可知奇函数y=f（x）在[-4，0）、（0，4]上单调递减，且f（0）=0，f（-1）=f（1）=0，作出奇函数y=f（x）在[-4，4]上的图象，再解不等式x³f（x）≤0即可．

解答： 解：∵f（x+1）的定义域为[-5，3]，即x∈[-5，3]，
∴x+1x∈[-4，4]，即f（x）的定义域为[-4，4]，关于原点对称；
又f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），∴y=f（x）为奇函数；
又f（-1）=0，f（x）在[-4，0）上单调递减，
∴奇函数y=f（x）在（0，4]上单调递减，且f（0）=0，f（1）=0，
∴奇函数y=f（x）在[-4，4]上的图象如下：
∴x³f（x）≤0?

x≤0 f(x)≥0

或

x≥0 f(x)≤0

，
由图可知，-4≤x≤-1或1≤x≤4或x=0，
∴不等式x³f（x）≤0的解集为{x|-4≤x≤-1或1≤x≤4或x=0}．

点评：本题考查不等式的解法，突出考查函数的奇偶性、单调性，考查作图能力，考查转化思想，属于中档题．