Question

设函数f（x）=x³+ax²-9x的导函数为f′（x），且f′（2）=15．
（Ⅰ）求函数f（x）的图象在x=0处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．

Answer 1

解：（Ⅰ）因为f'（x）=3x²+2ax-9，（1分）
所以由f'（2）=15，得a=3，（3分）
则f（x）=x³+3x²-9x，f'（x）=3x²+6x-9．
所以f（0）=0，f'（0）=-9，（4分）
所以函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=-9x． （6分）
（Ⅱ）令f'（x）=0，得x=-3或x=1． （7分）
当x变化时，f（x）与f'（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-3）	-3	（-3，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	27	↘	-5	↗

（11分）
可知函数f（x）在（-∞，-3）上单调递增，在（-3，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
所以当x=-3时，f（x）有极大值27；当x=1时，f（x）有极小值-5． （13分）
分析：（Ⅰ）求导数，由f′（2）=15可得a=3，代入可得f（0）=0，f'（0）=-9，由点斜式可得直线的方程；（Ⅱ）令导数为0可得临界点，进而可得函数的单调区间，由极值的定义可得．
点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线斜率和函数的极值问题，属中档题．