Question

设定义域在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f′（x）是f（x）的导函数，当∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；x∈（0，π）且x≠

π

2

时，（x-

π

2

）f′（x）＜0，则方程f（x）=cosx在[-2π，2π]上的根的个数（　　）

A．2

B．5

C．4

D．8

Answer 1

分析：由题意x∈（0，π） 当x∈（0，π） 且x≠

π

2

时，（x-

π

2

）f′（x）＜0以

π

2

为分界点进行讨论，确定函数的单调性，利用函数的图形，画出草图进行求解，即可得到结论

解答：解：∵当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，f（x）为偶函数，
∴当x∈[-π，0]时，0＜f（x）＜1；
又∵f（x）的最小正周期为2π
∴当x∈[-2π，2π]时，0＜f（x）＜1；
∵x∈（0，π）且x≠

π

2

时，（x-

π

2

）f′（x）＜0
∴当x∈（0，

π

2

）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（

π

2

，π）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减
y=f（x）与y=cosx的草图如下：

∴方程f（x）=cosx在[-2π，2π]上的又4个根
故选C

点评：本题考查函数的单调性，考查函数的零点，考查函数的周期性与奇偶性，利用数形结合的思想来求解，会化难为易