Question

已知△ABC中，角A，B，C对应的边为a，b，c，A=2B，cosB=

6

3

．
（1）求sinC的值；
（2）若角A的平分线AD的长为2，求b的值．

Answer 1

分析：（1）利用同角三角函数的基本关系求得sinB的值，利用二倍角公式求得sinA和cosA的值，最后代入两角和公式求得sin（A+B），即sinC的值．
（2）根据A=2B推断出∠ADC=A，进而利用正弦定理求得b．

解答：解：（1）∵0＜B＜

π

2

，cosB=

6

3

，
∴sinB=

1- 3 9

=

3

3

，
∴sinA=sin2B=2sinBcosB=

2 2

3

，cosA=cos2B=2cos2B-1=

1

3

，
∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=

5 3

9

（2）在△ABC中，
∵A=2B∴∠ADC=A，由正弦定理得，

b

sin∠ADC

=

AD

sinC

，
即

b

2 2 3

=

2

5 3 9

，
b=

4 6

5

．

点评：本题主要考查了解三角形问题，涉及了正弦定理的应用，二倍角公式和两角和公式，同角三角函数的基本关系的应用．