Question

已知椭圆的左右焦点分别为F₁，F₂，短轴两个端点为A，B，且四边形F₁AF₂B是边长为2的正方形．
（I）求椭圆方程；
（II）若C，D分别是椭圆长轴的左右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．求证：为定值．

Answer 1

解：（1）∵左右焦点分别为F₁，F₂，短轴两个端点为A，B，且四边形F₁AF₂B是边长为2的正方形，
∴a=2，b=c，a²=b²+c²，∴b²=2，∴椭圆方程为．（4分）
（2）C（-2，0），D（2，0），设M（2，y₀），P（x₁，y₁），
则．
直线CM：y-0=（x-2），即 ．（6分）
代入椭圆x²+2y²=4，得，故次方程的两个根分别为-2和x₁，（8分）
由韦达定理可得x₁-2=，∴，∴．
∴，（10分）
∴+==4 （定值）．（12分）
分析：（1）利用椭圆的几何性质求出a、b的值，从而写出标准方程．
（2）设M（2，y₀），写出直线CM的方程，并把它代入椭圆的方程，可求P的坐标，进而得到向量OM、OP的坐标，
计算这2个向量坐标的数量积，得出定值．
点评：本题考查椭圆的标准方程的求法、2个向量的数量积公式的应用，及一元二次方程根与系数的关系，属于中档题．