Question

2．已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0），x=-$\frac{π}{8}$是y=f（x）的零点，直线x=$\frac{3π}{8}$为y=f（x）图象的一条对称轴，且函数f（x）在区间（$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{24}$）上单调，则ω的最大值是（　　）

• A． 9
• B． 7
• C． 5
• D． 3

Answer 1

分析 根据已知可得ω为正奇数，且ω≤8，结合条件进行验证，可得ω的最大值．

解答 解：∵x=-$\frac{π}{8}$是y=f（x）的零点，直线x=$\frac{3π}{8}$为y=f（x）图象的一条对称轴，
∴$\frac{2n+1}{4}•T$=$\frac{π}{2}$，（n∈N）
即ω=$\frac{2π}{T}$=2n+1，（n∈N）
即ω为正奇数，
∵函数f（x）在区间（$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{24}$）上单调，
∴$\frac{5π}{24}$-$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{8}$≤$\frac{T}{2}$
即T=$\frac{2π}{ω}≥\frac{π}{4}$，解得：ω≤8，
当ω=7时，-$\frac{7π}{8}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
取φ=$\frac{3π}{8}$，
此时f（x）在（$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{24}$）不单调，不满足题意；
当ω=5时，-$\frac{5π}{8}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
取φ=$\frac{π}{8}$，
此时f（x）在（$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{24}$）不单调，满足题意；
当ω=3时，-$\frac{3π}{8}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
取φ=-$\frac{π}{8}$，
此时f（x）在（$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{24}$）单调，满足题意；故ω的最大值为3，
故选：D．

点评 本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．