Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=A₁A，D为C₁C的中点，O为A₁B与AB₁的交点．
（1）求证：AB₁⊥平面A₁BD；
（2）若E为AO上的动点，且EC∥平面A₁BD，求

AE

AO

的值．

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直的判定定理．证明AB₁⊥平面A₁BD；
（2）取AA₁的中点F，利用EC∥平面A₁BD，证明面CEF∥面A₁BD，从而确定EF∥A₁O，即E是AO的中点，可求

AE

AO

的值．

解答：解：（1）连结OD，∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=A₁C₁，
∴A₁D=BD，即三角形A₁DB是等腰三角形，
∴OD⊥A₁B，
∴面A₁DB⊥面AA₁B₁B，
又AB=A₁A，O为A₁B与AB₁的交点，为线段中点．
∴AB₁⊥A₁B，
∴AB₁⊥平面A₁BD．
（2）取AA₁的中点F，连结CF，EF，
则A₁D∥CF，∴CF∥面A₁BD
∵EC∥平面A₁BD，
∴面CEF∥面A₁BD，
∴EF∥A₁O，即E是AO的中点，
∴

AE

AO

=

1

2

．

点评：本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．综合性较强．