Question

某校高2010级数学培优学习小组有男生3人女生2人，这5人站成一排留影．
（1）求其中的甲乙两人必须相邻的站法有多少种？
（2）求其中的甲乙两人不相邻的站法有多少种？
（3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少种？

Answer 1

解：（1）把甲乙捆绑成一个整体与其余3人当着4个人作全排列有A₄⁴种，
且甲、乙的位置还可以互换
∴不同站法有A₄⁴•A₂²=48种．
（2）除甲乙两人外其余3人的排列数为A₃³，
而甲乙二人应插其余3人排好的空才不相邻；
且甲、乙位置可以互换．故有C₄²A₂²种排列方式．
∴不同站法有A₃³•C₄²A₂²=72种．
（3）优先考虑甲：
若甲站最右端，则乙与其余三人可任意排，则此时的排法数为A₄⁴种；
若甲不站最右端，则先从中间3个位置中选一个给甲，
再从除最右端的省余的3个位置给
乙，其余的三个人任意排，则此时的排法数为C₃¹C₃¹A₃³种；
∴不同站法有A₄⁴+C₃¹C₃¹A₃³=78种．
分析：（1）根据题意甲乙两人必须相邻的站法，把甲乙捆绑成一个整体与其余3人当着4个人作全排列有A₄⁴种，且甲、乙的位置还可以互换根据分步计数原理，得到结果．
（2）除甲乙两人外其余3人的排列数为A₃³，而甲乙二人应插其余3人排好的空才不相邻；且甲、乙位置可以互换．故有C₄²A₂²种排列方式
（3）若甲站最右端，则乙与其余三人可任意排，则此时的排法数为A₄⁴种；若甲不站最右端，则先从中间3个位置中选一个给甲，再从除最右端的省余的3个位置给乙，其余的三个人任意排，则此时的排法数为C₃¹C₃¹A₃³种；
点评：本题考查排列组合的实际应用，是一个排列问题，注意相邻问题的排法，有限制条件的元素，要优先考虑，本题是一个送分题目．