已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|>0),在同一周期内,当时,f(x)取得最大值3;当时,f(x)取得最小值﹣3.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调递减区间;
(Ⅲ)若时,函数h(x)=2f(x)+1﹣m有两个零点,求实数m的取值范围.
考点:
正弦函数的单调性;根的存在性及根的个数判断;由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
专题:
三角函数的图像与性质.
分析:
(Ⅰ)由题意可得A=3,根据周期T=2( )=,求得ω=2.由2×+φ=2kπ+,k∈z,以及﹣π<φ<π,可得 φ的值,从而求得函数的解析式.
(Ⅱ)由 2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈z,求得x的范围,即可求得函数的减区间.
(Ⅲ)函数y=sin(2x+)的图象和直线y=在上有2个交点,再由 2x+∈[﹣,],y=sin(2x+)的图象可得 ∈[,1),由此求得实数m的取值范围.
解答:
解:(Ⅰ)由题意可得A=3,周期T=2( )=,∴ω=2.
由2×+φ=2kπ+,k∈z,以及﹣π<φ<π,可得 φ=,故函数f(x)=3sin(2x+).
(Ⅱ)由 2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈z,求得kπ+≤x≤kπ+,
故函数的减区间为[kπ+,kπ+],k∈z.
(Ⅲ)∵时,函数h(x)=2f(x)+1﹣m有两个零点,故 sin(2x+)= 有2个实数根.
即函数y=sin(2x+)的图象和直线y= 有2个交点.
再由 2x+∈[﹣,],结合函数y=sin(2x+)的图象可得 ∈[,1),解得 m∈[3+1,7),
即 实数m的取值范围是[3+1,7).
点评:
本题主要考查方程的根的存在性及个数判断,由函数y=Asin(ωx+∅)的部分图象求解析式,正弦函数的定义域和值域,体现了转化的数学思想,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:
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