Question

已知双曲线的中心在原点，焦点F₁，F₂在坐标轴上，离心率为

2

，且过点（4，-

10

）．点M（3，m）在双曲线上．
（1）求双曲线方程；
（2）求证：

MF1

•

MF2

=0；
（3）求△F₁MF₂面积．

Answer 1

分析：（1）双曲线方程为x²-y²=λ，点代入求出参数λ的值，从而求出双曲线方程，
（2）先求出

MF1

•

MF2

的解析式，把点M（3，m）代入双曲线，可得出

MF1

•

MF2

=0，
（3）求出三角形的高，即m的值，可得其面积．

解答：解：（1）∵e=

2

，∴可设双曲线方程为x²-y²=λ．
∵过点（4，-

10

），∴16-10=λ，即λ=6．
∴双曲线方程为x²-y²=6．
（2）证明：∵

MF1

=（-3-2

3

，-m），

MF2

=（2

3

-3，-m），
∴

MF1

•

MF2

=（3+2

3

）×（3-2

3

）+m²
=-3+m²，
∵M点在双曲线上，∴9-m²=6，即m²-3=0，
∴

MF1

•

MF2

=0．
（3）△F₁MF₂的底|F₁F₂|=4

3

，由（2）知m=±

3

．
∴△F₁MF₂的高h=|m|=

3

，∴S△F₁MF₂=6．

点评：本题考查双曲线的标准方程、2个向量的数量积、双曲线的性质．