Question

【题目】设函数f（x）=ax﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k值；
（2）若f（1）＜0，试判断y=f（x）的单调性并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的t的取值范围；
（3）若f（1）= ，g（x）=a2x+a﹣2x﹣2f（x），求k∈N+在[1，+∞）上的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，

∴1﹣（k﹣1）=0，∴k=2

（2）解：f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1），

若f（1）＜0，则a﹣ ＜0，

∵a＞0且a≠1，

∴a2﹣1＜0，即0＜a＜1

∵ax单调递减，a﹣x单调递增，

故f（x）在R上单调递减．

不等式化为f（x2+tx）＜f（x﹣4），

∴x2+tx＞x﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立

∴△=（t﹣1）2﹣16＜0，解得﹣3＜t＜5

（3）解： ，

∴ ，

∴

g（x）=22x+2﹣2x﹣2（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2（2x﹣2﹣x）+2

令t=2x﹣2﹣x

∵t=2x﹣2﹣x在[1，+∞）上为递增的，

∴

∴设h（t）=t2﹣2t+2=（t﹣1）2+1，

∴ ，

即g（x）在[1，+∞）上的最小值为

【解析】（1）根据函数奇偶性的定义和性质进行求解即可．（2）根据不等式求出a的取值范围，判断函数的单调性，将不等式恒成立进行转化即可．（3）利用换元法，结合一元二次函数单调性的性质进行求解即可．