函数,数列,满足0<<1, ,数列满足,
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)求证:0<<<1;
(Ⅲ)若且<,则当n≥2时,求证:>
(Ⅰ)函数的递减区间(-1,0),递增区间(0,+);(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)详见解析.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)求函数的单调区间,首先确定定义域,可通过单调性的定义,或求导确定单调区间,由于,含有对数函数,可通过求导来确定单调区间,对函数求导得,由此令,,解出就能求出函数的单调区间;(Ⅱ)求证:0<<<1,可先证0<<1,,再证数列单调递减,可先证0<<1,若能求出通项公式,利用通项公式来证,由已知0<<1, ,显然无法求通项公式,可考虑利用数学归纳法来证,结合函数的单调性易证,证数列单调递减,可用作差比较法<0证得,从而的结论;(Ⅲ)若且<,则当n≥2时,求证:>,关键是求的通项公式,由,,所以,可得,只要证明>,,即证,因为且<,则,由此可得,所以,即证得.
试题解析:(Ⅰ)利用导数可求得函数的递减区间(-1,0),递增区间(0,+)
(Ⅱ)先用数学归纳法证明0<<1,.
①当n=1时,由已知得结论成立.②假设时,0<<1成立.则当时由(1)可得函数在上是增函数,所以<<=1-<1,所以0<<1,即n=k+1时命题成立,由①②可得0<<1,成立.
又<0,所以<成立.
所以0<<<1
(Ⅲ)因为,,所以,
所以……①
因为则,所以
因为,当时,,
所以……②
由①②两式可知
考点:函数与导数,函数单调性,数学归纳法,叠乘法求数列的通项公式,放缩法.
科目:高中数学 来源: 题型:
a1-b | a1lnb |
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科目:高中数学 来源: 题型:
x |
2n |
1 |
f′(an) |
(2n-1)(2an-1) |
an |
lim |
n→∞ |
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科目:高中数学 来源: 题型:
1 |
2 |
1 |
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2 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
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2 |
1 |
2n |
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