Question

2．已知命题p：对于任意非零实数x，不等式m＜x⁴-x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$恒成立；命题q：函数f（x）=x²-2mx在区间（2，+∞）上是增函数，若命题p和命题q有且只有一个真命题，则实数m的取值范围是[1，2]．

Answer 1

分析 对于命题p：令f（x）=x⁴-x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$，（x≠0），由于f（x）是偶函数，因此只要考虑x＞0即可．f′（x）=$4{x}^{3}-2x-\frac{2}{{x}^{3}}$=$\frac{2（x+1）（x-1）（2{x}^{4}+{x}^{2}+1）}{{x}^{3}}$，利用导数研究其单调性即可得出m的取值范围．对于命题q：函数f（x）=x²-2mx=（x-m）²-m²在区间（2，+∞）上是增函数，可得m≤2．若命题p和命题q有且只有一个真命题，p与q必然一真一假，即可得出．

解答 解：对于命题p：令f（x）=x⁴-x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$，（x≠0），由于f（x）是偶函数，因此只要考虑x＞0即可．f′（x）=$4{x}^{3}-2x-\frac{2}{{x}^{3}}$=$\frac{2（x+1）（x-1）（2{x}^{4}+{x}^{2}+1）}{{x}^{3}}$．∴当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴当x=1时，函数f（x）取得最小值，f（1）=1．∴m＜1．
对于命题q：函数f（x）=x²-2mx=（x-m）²-m²在区间（2，+∞）上是增函数，∴m≤2．
∵命题p和命题q有且只有一个真命题，
∴p与q必然一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＜1}\\{m＞2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m≥1}\\{m≤2}\end{array}\right.$，
解得m∈∅，或1≤m≤2．
则实数m的取值范围是[1，2]．
故答案为：[1，2]．

点评 本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、函数的奇偶性、二次函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．