Question

（2013•朝阳区一模）已知函数f(x)=

3

2

sinωx-sin2

ωx

2

+

1

2

（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两角和的正弦公式，二倍角公式化简函数f（x）的解析式为sin(ωx+

π

6

)，由此求得它的最小正周期．令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，求得x的范围，即可得到函数f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）因为x∈[0，

π

2

]，根据正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

2

sinωx-

1-cosωx

2

+

1

2

=

3

2

sinωx+

1

2

cosωx=sin(ωx+

π

6

)．…（4分）
因为f（x）最小正周期为π，所以ω=2．…（6分）
所以f(x)=sin(2x+

π

6

)．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

．
所以函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．…（8分）
（Ⅱ）因为x∈[0，

π

2

]，所以2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，…（10分）
所以-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1．…（12分）
所以函数f（x）在[0，

π

2

]上的取值范围是[-

1

2

，1]．…（13分）

点评：本题主要考查两角和的正弦公式，二倍角公式，正弦函数的单调性和周期性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．