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设抛物线C的方程为x2=4y,M(x,y)为直线l:y=-m(m>0)上任意一点,过点M作抛物线C的两条切线MA,MB,切点分别为A,B.
(1)当M的坐标为(0,-1)时,求过M,A,B三点的圆的方程,并判断直线l与此圆的位置关系;
(2)求证:直线AB恒过定点(0,m).
【答案】分析:(1)设过M点的切线方程,代入x2=4y,整理得x2-4kx+4=0,令△=0,可得A,B的坐标,利用M到AB的中点(0,1)的距离为2,可得过M,A,B三点的圆的方程,从而可判断圆与直线l:y=-1相切;
(2)证法一:设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),过抛物线上点A(x1,y1)的切线方程为,代入x2=4y,消元,利用△=0,即可确定,利用切线过点M(x,y),所以可得,同理可得,由此可得直线AB的方程,从而可得结论;
证法二:设过M(x,y)的抛物线的切线方程为(k≠0),代入x2=4y,消去y,利用韦达定理,确定直线AB的方程,从而可得结论;
证法三:利用导数法,确定切线的斜率,得切线方程,由此可得直线AB的方程,从而可得结论.
解答:(1)解:当M的坐标为(0,-1)时,设过M点的切线方程为y=kx-1,代入x2=4y,整理得x2-4kx+4=0,
令△=(4k)2-4×4=0,解得k=±1,
代入方程得x=±2,故得A(2,1),B(-2,1),…(2分)
因为M到AB的中点(0,1)的距离为2,
从而过M,A,B三点的圆的方程为x2+(y-1)2=4.
∵圆心坐标为(0,1),半径为2,∴圆与直线l:y=-1相切…(4分)
(2)证法一:设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),过抛物线上点A(x1,y1)的切线方程为,代入x2=4y,整理得x2-4kx+4(kx1-y1)=0△=(4k)2-4×4(kx1-y1)=0,又因为,所以…(6分)
从而过抛物线上点A(x1,y1)的切线方程为
又切线过点M(x,y),所以得①即…(8分)
同理可得过点B(x2,y2)的切线为
又切线过点M(x,y),所以得②…(10分)
…(6分)
即点A(x1,y1),B(x2,y2)均满足即xx=2(y+y),故直线AB的方程为xx=2(y+y)…(12分)
又M(x,y)为直线l:y=-m(m>0)上任意一点,故xx=2(y-m)对任意x成立,所以x=0,y=m,从而直线AB恒过定点(0,m)…(14分)
证法二:设过M(x,y)的抛物线的切线方程为(k≠0),代入x2=4y,消去y,得x2-4kx-4(y-kx)=0△=(4k)2+4×4(y-kx)=0即:k2+xk+y=0…(6分)
从而此时
所以切点A,B的坐标分别为…(8分)
因为
所以AB的中点坐标为…(11分)
故直线AB的方程为,即xx=2(y+y)…(12分)
又M(x,y)为直线l:y=-m(m>0)上任意一点,故xx=2(y-m)对任意x成立,所以x=0,y=m,从而直线AB恒过定点(0,m)…(14分)
证法三:由已知得,求导得,切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),故过点A(x1,y1)的切线斜率为,从而切线方程为
…(7分)
又切线过点M(x,y),所以得①即…(8分)
同理可得过点B(x2,y2)的切线为
又切线过点M(x,y),所以得②即…(10分)
即点A(x1,y1),B(x2,y2)均满足即xx=2(y+y),故直线AB的方程为xx=2(y+y)…(12分)
又M(x,y)为直线l:y=-m(m>0)上任意一点,故xx=2(y-m)对任意x成立,所以x=0,y=m,从而直线AB恒过定点(0,m)…(14分)
点评:本题考查圆的方程,考查抛物线的切线,考查直线恒过定点,确定切线方程,及直线AB的方程是关键.
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