设抛物线C的方程为x2=4y,M(x,y)为直线l:y=-m(m>0)上任意一点,过点M作抛物线C的两条切线MA,MB,切点分别为A,B.
(1)当M的坐标为(0,-1)时,求过M,A,B三点的圆的方程,并判断直线l与此圆的位置关系;
(2)求证:直线AB恒过定点(0,m).
【答案】
分析:(1)设过M点的切线方程,代入x
2=4y,整理得x
2-4kx+4=0,令△=0,可得A,B的坐标,利用M到AB的中点(0,1)的距离为2,可得过M,A,B三点的圆的方程,从而可判断圆与直线l:y=-1相切;
(2)证法一:设切点分别为A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),过抛物线上点A(x
1,y
1)的切线方程为
,代入x
2=4y,消元,利用△=0,即可确定
,利用切线过点M(x
,y
),所以可得
,同理可得
,由此可得直线AB的方程,从而可得结论;
证法二:设过M(x
,y
)的抛物线的切线方程为
(k≠0),代入x
2=4y,消去y,利用韦达定理,确定直线AB的方程,从而可得结论;
证法三:利用导数法,确定切线的斜率,得切线方程,由此可得直线AB的方程,从而可得结论.
解答:(1)解:当M的坐标为(0,-1)时,设过M点的切线方程为y=kx-1,代入x
2=4y,整理得x
2-4kx+4=0,
令△=(4k)
2-4×4=0,解得k=±1,
代入方程得x=±2,故得A(2,1),B(-2,1),…(2分)
因为M到AB的中点(0,1)的距离为2,
从而过M,A,B三点的圆的方程为x
2+(y-1)
2=4.
∵圆心坐标为(0,1),半径为2,∴圆与直线l:y=-1相切…(4分)
(2)证法一:设切点分别为A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),过抛物线上点A(x
1,y
1)的切线方程为
,代入x
2=4y,整理得x
2-4kx+4(kx
1-y
1)=0△=(4k)
2-4×4(kx
1-y
1)=0,又因为
,所以
…(6分)
从而过抛物线上点A(x
1,y
1)的切线方程为
即
又切线过点M(x
,y
),所以得
①即
…(8分)
同理可得过点B(x
2,y
2)的切线为
,
又切线过点M(x
,y
),所以得
②…(10分)
即
…(6分)
即点A(x
1,y
1),B(x
2,y
2)均满足
即x
x=2(y
+y),故直线AB的方程为x
x=2(y
+y)…(12分)
又M(x
,y
)为直线l:y=-m(m>0)上任意一点,故x
x=2(y-m)对任意x
成立,所以x=0,y=m,从而直线AB恒过定点(0,m)…(14分)
证法二:设过M(x
,y
)的抛物线的切线方程为
(k≠0),代入x
2=4y,消去y,得x
2-4kx-4(y
-kx
)=0△=(4k)
2+4×4(y
-kx
)=0即:k
2+x
k+y
=0…(6分)
从而
,
此时
,
所以切点A,B的坐标分别为
,
…(8分)
因为
,
,
,
所以AB的中点坐标为
…(11分)
故直线AB的方程为
,即x
x=2(y
+y)…(12分)
又M(x
,y
)为直线l:y=-m(m>0)上任意一点,故x
x=2(y-m)对任意x
成立,所以x=0,y=m,从而直线AB恒过定点(0,m)…(14分)
证法三:由已知得
,求导得
,切点分别为A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),故过点A(x
1,y
1)的切线斜率为
,从而切线方程为
即
…(7分)
又切线过点M(x
,y
),所以得
①即
…(8分)
同理可得过点B(x
2,y
2)的切线为
,
又切线过点M(x
,y
),所以得
②即
…(10分)
即点A(x
1,y
1),B(x
2,y
2)均满足
即x
x=2(y
+y),故直线AB的方程为x
x=2(y
+y)…(12分)
又M(x
,y
)为直线l:y=-m(m>0)上任意一点,故x
x=2(y-m)对任意x
成立,所以x=0,y=m,从而直线AB恒过定点(0,m)…(14分)
点评:本题考查圆的方程,考查抛物线的切线,考查直线恒过定点,确定切线方程,及直线AB的方程是关键.