Question

13．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（3b-c）cosA=acosC，${S_△}_{ABC}=\sqrt{2}$，则$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AC}$=（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． 1
• D． -1

Answer 1

分析 先利用正弦定理及和角的三角函数，可求cosA的值，进而可求sinA，利用三角形的面积，求得bc．利用向量的数量积公式，即可得到结论．

解答 解：∵（3b-c）cosA=acosC，
∴由正弦定理，可得：3sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC，
∴3sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，
∴3sinBcosA=sin（A+C）=sinB，
∴cosA=$\frac{1}{3}$，sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵S△ABC=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{2}}{3}$bc=$\sqrt{2}$，
∴bc=3，
∵cosA=$\frac{1}{3}$，
∴cos＜$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{AC}$＞=-$\frac{1}{3}$，
∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AC}$=bccos＜$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{AC}$＞=-1．
故选：D．

点评 本题考查正弦定理，考查三角形的面积公式，解题的关键是利用正弦定理，进行边角互化，属于中档题．