Question

【题目】如图，在直角梯形中，，且分别为线段的中点，沿把折起，使，得到如下的立体图形.

（1）证明：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) .

【解析】试题分析：（1）由，结合，且，所以平面.因为平面，所以平面平面；（2）过点作交于点，连结，则，又，所以平面，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，分别根据向量垂直数量积为零列方程组求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.

试题解析：（1）证明：由题可得，则，

又，且，所以平面.

因为平面，所以平面平面；

（2）解：

过点作交于点，连结，则平面，，

又，所以平面，

易证，则，得，

以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则.

故，

设是平面的法向量，则，

令，得，

设是平面的法向量，则，

令，则，

因为，所以二面角的余弦值为.

【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求二面角，以及面面垂直的证明，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.