Question

对于函数f（x）（x∈D），若存在两条距离为d的直线y=kx+m₁和y=kx+m₂，使任意x∈D都有kx+m₁≤f（x）≤kx+m₂恒成立，则称函数f（x）（x∈D）有一个宽度为d的通道．
下列函数：
①f(x)=

1

x

；
②f（x）=sinx；
③f(x)=

x2-1

；
④f（x）=x³+1．
其中[1，+∞）上通道宽度可以为1的函数的序号是______（填上所有正确答案的序号）

Answer 1

对于①，当x∈[1，+∞）时，0＜

1

x

≤1，故在[1，+∞）有一个宽度为1的通道，两条直线可取y=0，y=1；
对于②，当x∈[1，+∞）时，-1≤sinx≤1，故在[1，+∞）不存在一个宽度为1的通道；
对于③，当x∈[1，+∞）时，f(x)=

x2-1

表示双曲线x²-y²=1在第一象限的部分，双曲线的渐近线为y=x，故可取另一直线为y=x-2，满足在[1，+∞）有一个宽度为1的通道；
对于④，当x∈[1，+∞）时，f（x）∈[2，+∞），故在[1，+∞）不存在一个宽度为1的通道；
故答案为：①③