Question

14．已知f（x）=sin（φx+$\frac{π}{3}$） （φ＞0），f（$\frac{π}{6}$）=f（$\frac{π}{3}$），且f（x）在区间（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）有且只有一个最值，则φ的一个可能值是$\frac{14}{3}$ 或$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由条件利用正弦函数的图象特征可得$\frac{π}{4}$φ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，$\frac{π}{6}$φ+$\frac{π}{3}$≥kπ-$\frac{π}{2}$，且$\frac{π}{3}$φ+$\frac{π}{3}$≤kπ+$\frac{3π}{2}$，由此求得φ的一个可能值．

解答 解：对于f（x）=sin（φx+$\frac{π}{3}$） （φ＞0），由f（$\frac{π}{6}$）=f（$\frac{π}{3}$），可得函数的图象关于直线x=$\frac{π}{4}$对称，
∴$\frac{π}{4}$φ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即φ=4k+$\frac{2}{3}$．
再根据f（x）在区间（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）有且只有一个最值，则$\frac{π}{6}$φ+$\frac{π}{3}$≥kπ-$\frac{π}{2}$，且$\frac{π}{3}$φ+$\frac{π}{3}$≤kπ+$\frac{3π}{2}$，
求得φ≥6k-5，且φ≤3k+$\frac{7}{2}$．
∴φ的一个可能是$\frac{2}{3}$ 或$\frac{14}{3}$，
故答案为：$\frac{14}{3}$ 或$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．