Question

（2013•婺城区模拟）若数列{a_n}的前n项和为S_n，则下列命题正确的是（　　）

A．若数列{ a_n}是递增数列，则数列{S_n}也是递增数列：

B．数列{S_n}是递增数列的充要条件是数列{a_n}的各项均为正数

C．若{a_n}是等差数列，则对于k≥2且k∈N，S₁?S₂…S_k=0的充要条件是a₁?a₂?a_k=0

D．若{a_n}是等比数列，则对于k≥2且k∈N，S₁?S₂…S_k=0的充要条件是a_k+a_k+1=0．

Answer 1

分析：利用等差数列、等比数列的定义和性质，数列的前n项和的意义，通过举反例可得A、B、C不正确．经过检验，只有D正确，从而得出结论．

解答：解：A：数列{a_n}的前n项和为S_n，故 S_n =a₁+a₂+a₃+…+a_n，
若数列{a_n}是递增数列，则数列{S_n}不一定是递增数列，如a_n=n-60，当a_n＜0 时，数列{S_n}是递减数列，故A不正确．
B：由数列{S_n}是递增数列，不能推出数列{a_n}的各项均为正数，
如数列：0，1，2，3，…，满足{S_n}是递增数列，但不满足数列{a_n}的各项均为正数，故B不正确．
C：若{a_n}是等差数列（公差d≠0），则由S₁•S₂…S_k=0不能推出a₁•a₂…a_k=0，
例如数列：-3，-1，1，3，满足S₄=0，但 a₁•a₂•a₃•a₄≠0，故C不正确．
D：一方面：若{a_n}是等比数列，则由S₁•S₂…S_k=0（k≥2，k∈N），
从而当k=2时，有S₁•S₂=0⇒S₂=0⇒a₁+a₂=0，
∴a₂=-a₁，从而数列的{a_n}公比为-1，故有a_k+a_k+1=a_k-a_k=0．
另一方面，由a_k+a_k+1=0可得a_k=-a_k+1，∴a₂=-a₁，
可得S₂=0，∴S₁•S₂…S_k=0（k≥2，k∈N），故D正确．
故选D．

点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，数列的前n项和的意义，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题．