Question

10．（Ⅰ）求不等式|x-3|-2|x-1|≥-1的解集；
（Ⅱ）已知a，b∈R^*，a+b=1，求证：（a+$\frac{1}{a}$）²+（b+$\frac{1}{b}$）²≥$\frac{25}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用绝对值的几何意义，分类讨论，即可求不等式|x-3|-2|x-1|≥-1的解集；
（Ⅱ）利用基本不等式证明ab≤$（\frac{a+b}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，即可证明结论．

解答 （Ⅰ）解：x＜1时，-x+3+2x-2≥-1，∴x≥-2，∴-2≤x＜1；
1≤x≤3时，-x+3-2x+2≥-1，∴x≤2，∴1≤x≤2；
x＞3时，x-3-2x+2≥-1，∴x≤0，此时无解；
∴不等式|x-3|-2|x-1|≥-1的解集是[-2，2]…（5分）
（Ⅱ）证明：∵a，b∈R^*，a+b=1，
∴ab≤$（\frac{a+b}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，
∴（a+$\frac{1}{a}$）²+（b+$\frac{1}{b}$）²=4+（a²+b²）+（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$）
=4+（1-2ab）+$\frac{1-2ab}{{a}^{2}{b}^{2}}$≥4+（1-2×$\frac{1}{4}$）+$\frac{1-2×\frac{1}{4}}{（\frac{1}{4}）^{2}}$=$\frac{25}{2}$．
当且仅当a=b=$\frac{1}{2}$时不等式取等号．…（10分）

点评 本题考查不等式的解法、不等式的证明，考查基本不等式的运用，属于中档题．