Question

（1）几何证明选讲：如图，CB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A为切点，AP与CB的延长线交于点P，若PA=8，PB=4，求AC的长度．
（2）坐标系与参数方程：在极坐标系Ox中，已知曲线C1：ρcos(θ+

π

4

)=

2

2

与曲线C₂；ρ=1相交于A、B两点，求线段AB的长度．
（3）不等式选讲：解关于x的不等式|x-1|+a-2≤0（a∈R）．

Answer 1

分析：（1）根据切割线定理，得PA²=PB×PC，结合PA=8、PB=4得PC=16=2PA．由△PAB∽△PCA，得AC=2AB，最后在Rt△ABC中利用勾股定理，算出AB=

12

5

5

，从而得到AC的长度是

24

5

5

；
（2）将曲线C₁化成ρcosθ-ρsinθ=1，即直线x-y-1=0，再将曲线C₂：ρ=1化成x²+y²=1，方程联解得A（1，0），B（0，-1）．最后根据两点间的距离公式，算出|AB|=

2

，即得线段AB的长度；
（3）不等式|x-1|+a-2≤0即|x-1|≤2-a．然后分a=2、a＞2和a＜2三种情况加以讨论，分别解关于x的不等式|x-1|≤2-a，即可得到原不等式的解集．

解答：解：（1）∵AP是⊙O的切线，A为切点，∴PA²=PB×PC
∵PA=8，PB=4，∴PC=16，得PC=2PA
∵∠PAB=∠PCA，∠P是公共角
∴△PAB∽△PCA，得

AB

AC

=

PA

PC

=

1

2

，即AC=2AB
∵Rt△ABC中，BC=PC-PB=12
∴AC²+AB²=BC²，即5AB²=144，得AB=

12

5

5

∴AC=2AB=

24

5

5

，即AC的长度是

24

5

5

（2）曲线C1：ρcos(θ+

π

4

)=

2

2

，即ρ（cosθcos

π

4

-sinθsin

π

4

）=

2

2

∵cos

π

4

=sin

π

4

=

2

2

，
∴曲线C₁化成ρcosθ-ρsinθ=1，即直线x-y-1=0，
将曲线C₂：ρ=1化成普通方程，得x²+y²=1，原点为圆心、半径为1的圆
由

x-y-1=0 x2+y2=1

，解得A（1，0），B（0，-1）
∴|AB|=

(0-1)2+(-1-0)2

=

2

，即线段AB的长度为

2

（3）不等式|x-1|+a-2≤0即|x-1|≤2-a
①当a=2时，不等式化成|x-1|≤0，解集为{1}；
②当a＞2时，因为2-a＜0且|x-1|≥0，所以不等式的解集为∅；
③当a＜2时，不等式|x-1|≤2-a化成a-2≤x-1≤2-a，得解集为{x|a-1≤x≤3-a}

点评：本题以圆中的比例线段、曲线的极坐标方程和含有绝对值的不等式解法为例，考查了切割线定理和相似三角形、极坐标与直角坐标的互化、直线与圆的位置关系和含有绝对值不等式解法等知识点，属于基础题．