Question

已知函数f(x)＝＋，求f(x)的最小值,并求取得最小值时x的值.

Answer 1

解:∵f(x)＝＋=＋.

它表示点P(x，0)与点A(1，1)的距离加上点P(x，0)与点B(2，2)的距离之和,即在x轴上求一点P(x，0)与点A(1，1)、B(2，2)的距离之和的最小值.

由下图可知，转化为求两点A′(1，－1)和B(2，2)间的距离，其距离为函数f(x)的最小值.

∴f(x)的最小值为＝.

再由直线方程的两点式得A′B方程为3x－y－4＝0.

令y＝0，得x＝.当x＝时，f(x)的最小值为.

点评:(1)数形结合是解析几何最根本的思想，因此本题联系图形求解，使解法直观、简捷而且准确，易于入手.

(2)设点A关于直线l的对称点为A′，直线A′B与l相交于P点.若A、B在l的同一侧，则|PA|＋|PB|=|A′B|最小；若A、B在l的异侧，则|PA|－|PB|=|A′B|最大.