Question

（13分）已知数列满足：其中，数列满足：

   （1）求；

   （2）求数列的通项公式；

   （3）是否存在正数k，使得数列的每一项均为整数，如果不存在，说明理由，如果存在，求出所有的k.

Answer 1

解析：（1）经过计算可知：

.

求得.…………………………………………（4分）

（2）由条件可知：.…………①

类似地有：.…………②

①-②有：.

即：.

因此：

即：故

所以：.…………………………………………（8分）

（3）假设存在正数，使得数列的每一项均为整数.

则由（2）可知：…………③

由，及可知.

当时，为整数，利用，结合③式，反复递推，可知，，，，…均为整数.

当时，③变为………④

我们用数学归纳法证明为偶数，为整数

时，结论显然成立，假设时结论成立，这时为偶数，为整数，故为偶数，为整数，所以时，命题成立.

故数列是整数列.

综上所述，的取值集合是.………………………………………（13分）