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(21)已知点的序列Anxn,0),nN,其中x1=0,x2aa>0),A3是线段A1A2的中点,A4是线段A2A3的中点,…,An是线段A n2A n1的中点,….

 

(Ⅰ)写出xnx n1x n2之间的关系式(n≥3);

 

(Ⅱ)设anx n1xn,计算a1a2a3,由此推测数列{an}的通项公式,并加以证明;

 

(Ⅲ)求xn.

(21)本题主要考查直线与椭圆等基础知识,考查综合运用数学知识和方法分析解决问题的能力.

(Ⅰ)解:当n≥3时,xn.

(Ⅱ)解:a1x2x1a

 

a2x3x2x2=-x2x1)=-a

 

a3x4x3x3=-x3x2)=-(-a)=a

 

由此推测an=(-n1anN).

证法一:

因为a1a>0,且anxn1xnxn=-xnxn1)=-an1

n≥2),

 

所以an=(-n1a

 

证法二:

用数学归纳法证明:

(i)当n=1时,a1=x2x1=a=(0a,公式成立.

(ii)假设当n=k时,公式成立,即ak=()k1a成立.

那么当nk+1时,

 

ak1xk2xk1xk1=-xk1xk)=-ak=-(-k1a

 

=(-k1)-1a,公式仍成立.

 

根据(i)与(ii)可知,对任意nN,公式an=(-n1a成立.

(Ⅲ)解:当n≥3时,有

xn=(xnxn1)+(xn1xn2)+…+(x2x1)+x1an1an2+…+a1

 

由(Ⅱ)知{an}是公比为-的等比数列,

 

所以xna).


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科目:高中数学 来源: 题型:

(21)已知点的序列Anxn,0),nN,其中x1=0,x2aa>0),A3是线段A1A2的中点,A4是线段A2A3的中点,…,An是线段A n2A n1的中点,….

 

(Ⅰ)写出xnx n1x n2之间的关系式(n≥3);

 

(Ⅱ)设anx n1xn,计算a1a2a3,由此推测数列{an}的通项公式,并加以证明;

 

(Ⅲ)求xn.

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