Question

（本小题满分14分）

已知函数为常数，数列满足：，，．

（1）当时，求数列的通项公式；

（2）在（1）的条件下，证明对有：；

（3）若，且对，有，证明：．

 

Answer 1

【答案】

（1），

（2）可以用裂项法求和进而证明也可以用数学归纳法证明

（3）可以用基本不等式证明也可以用导数证明，还可以利用数列的单调性证明

【解析】

试题分析：（1）当时，，

两边取倒数，得，                                           ……2分

故数列是以为首项，为公差的等差数列，

，，．                                      ……4分

（2）证法1：由（1）知，故对

         ……6分

所以 

．                            ……9分

[证法2：①当n=1时，等式左边，等式右边，左边=右边，等式成立；                                                  ……5分

②假设当时等式成立，

即，

则当时

这就是说当时，等式成立，                                       ……8分

综①②知对于有：

．                      ……9分】

（3）当时，

则，                              ……10分

∵，

∴                      ……11分

．                          ……13分

∵与不能同时成立，∴上式“=”不成立，

即对，．                                    ……14分

【证法二：当时，，

则                                       ……10分

又

                                         ……11分

令则                      ……12分

当所以函数在单调递减，故当所以命题得证                   ……14分】

【证法三：当时，，            ……11分

 

数列单调递减，

，

所以命题得证                                                        ……14分】

考点：本小题主要考查数列的通项公式、前n项和以及与数列有关的不等式的证明.

点评：本小题比较综合，既考查了数列的通项公式的求解，也考查了数列的前n项的求解，还考查了数列的性质的应用以及基本不等式、导数等的综合应用，难度较大，要求学生具有较高的分析问题、转化问题、解决问题的能力和运算求解能力.