Question

已知双曲线x2-

y2

3

=1
（1）求此双曲线的渐近线方程；
（2）若过点（2，3）的椭圆与此双曲线有相同的焦点，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（1）由双曲线的标准方程可求得 a、b，可得渐近线方程．
（2）求出抛物线的焦点坐标，求出双曲线的两焦点坐标，即为椭圆的焦点坐标，即可得到c的值，然后根据椭圆的定义得到a，最后利用a，b，c的关系即可求出b的值，得到椭圆方程．

解答：解：（1）双曲线方程为x2-

y2

3

=1，
由此得a=1，b=

3

，
所以渐近线方程为y=±

3

x．
（2）双曲线中，c=

a2+b2

=

3+1

=2，焦点为（-2，0），（2，0）．
椭圆中，2a=

(2+2)2+(3-0)2

+

(2-2)2+(3-0)2

=8，
则a=4，b²=a²-c²=4²-2²=12．
所以，所求椭圆的标准方程为：

x2

16

+

y2

12

=1．

点评：此题考查学生掌握圆锥曲线的共同特征，会求椭圆的标准方程，是一道综合题．本题还考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，利用条件求出a，b，c值，是解题的关键．