Question

（2013•枣庄二模）已知A，B是△ABC的两个内角，向量

a

=(

2

cos

A+B

2

，sin

A-B

2

)，且|

a

|=

6

2

．
（1）证明：tanAtanB为定值；
（2）若A=

π

6

，AB=2，求边BC上的高AD的长度．

Answer 1

分析：（1）由题意可得

a

2=2cos2

A+B

2

+sin2

A-B

2

=

6

4

，利用二倍角公式化简可得 2cos（A+B）-cos（A-B）=0，再利用两角和差的三角公式、同角三角跑函数的基本关系
化简求得tanA•tanB的值．
（2）由（1）tanA•tanB=

1

3

，且A=

π

6

可得tanB=

3

3

，求得 B=

π

6

．直角三角形ABD中，由AD=AB•sinB，运算求得结果．

解答：解：（1）∵A，B是△ABC的两个内角，向量

a

=（

2

cos

A+B

2

，sin

A-B

2

），且|

a

|=

6

2

，
∴

a

2=2cos2

A+B

2

+sin2

A-B

2

=

6

4

，∴1+cos（A+B）+

1-cos(A-B)

2

=

3

2

．
化简可得 2cos（A+B）-cos（A-B）=0，∴2cosAcosB-2sinAsinB-（cosAcosB+sinAsinB）=0，
∴cosAcosB=3sinAsinB，∴tanA•tanB=

1

3

，
（2）由（1）可得tanA•tanB=

1

3

，且tanA=tan

π

6

=

3

3

，∴tanB=

3

3

，B=

π

6

．
直角三角形ABD中，AD=AB•sinB=2×sin

π

6

=1．即为所求的值

点评：本题主要考查求向量的模，三角函数的恒等变换，二倍角公式以及直角三角形中的边角关系，两角和差的三角公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．