Question

【题目】已知函数f（x）＝ax﹣cosx，a≠0．

（1）若函数f（x）为单调函数，求a的取值范围；

（2）若x∈[0，2π]，求：当a≥时，函数f（x）仅有一个零点．

Answer 1

【答案】（1）或（2）详见解析

【解析】

（1）首先求函数的导数，，当函数单调递增时恒成立，当函数单调递减时，恒成立；（2）根据（1）可知当时，函数单调递增，根据零点存在性定理可知只有一个交点，当时，可得函数存在两个极值点，，根据单调性可判断，是极大值，是极小值，因为，，若函数只有一个零点，只需满足，即可求得的取值范围.

（1）解：由，可得,.

因为，

所以当时，，为上的单调增函数；

当时，，为上的单调减函数.

综上，若函数为单调函数，则或.

（2）证明：当时，由（1）可知为上的单调增函数.

又，

所以函数在有且仅有一个零点，满足题意.

当时，

令，则.由于，所以，

从而必有，，使，且.

不妨设，且有，，

所以当时，，为增函数；

当时，，为减函数；

当时，，为增函数.

从而函数的极大值为，极小值为.

因为，所以，从而极大值.

又，

要使函数仅有一个零点，则极小值，

所以，即.

又，，

所以当时，函数仅有一个零点.