Question

设M是△ABC内一点，

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，定义f（x）=（m，n，p），其中m，n，p分别是△MBC，△MAC，△MAB的面积，若f(Q)=(

1

2

，x，y)，

1

x

+

4

y

=a ， 则

a2+2

a

的取值范围是

[

163

9

，+∞）

．

Answer 1

分析：先确定x+y=1-

1

2

=

1

2

，再利用基本不等式，确定a≥18，进而利用函数的单调性，即可得出结论．

解答：解：∵

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，
∴由向量的数量积公式得|

AB

||

AC

|cos∠BAC=2

3

∴|

AB

||

AC

|=4
∴S△ABC=

1

2

|

AB

||

AC

|sin30°=1
∴x+y=1-

1

2

=

1

2

∴a=

1

x

+

4

y

=2（

1

x

+

4

y

）（x+y）=2（

y

x

+

4x

y

+5）≥2(2

y x • 4x y

+5)=18
当且仅当

y

x

=

4x

y

时．取等号，∴a≥18
∵

a2+2

a

=a+

2

a

在（0，

2

）上单调递减，在（

2

，+∞）上单调递增
∴

a2+2

a

=a+

2

a

在[18，+∞）上单调递增，
∴

a2+2

a

=a+

2

a

≥

163

9

∴

a2+2

a

的取值范围是[

163

9

，+∞）
故答案为：[

163

9

，+∞）．

点评：本题考查基本不等式的应用和向量的数量积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．