Question

【题目】已知函数 ，常数a＞0．
（1）设mn＞0，证明：函数f（x）在[m，n]上单调递增；
（2）设0＜m＜n且f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求常数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：任取x1，x2∈[m，n]，且x1＜x2， ，

因为x1＜x2，x1，x2∈[m，n]，所以x1x2＞0，即f（x1）＜f（x2），

故f（x）在[m，n]上单调递增

（2）解：因为f（x）在[m，n]上单调递增，

f（x）的定义域、值域都是[m，n]f（m）=m，f（n）=n，

即m，n是方程 的两个不等的正根a2x2﹣（2a2+a）x+1=0有两个不等的正根．

所以△=（2a2+a）2﹣4a2＞0，

【解析】（1）根据函数的单调性的定义，进行设值着差，即可证明出结论，（2）由于f（x）的定义域和值域都是[m，n]，且f（x）单调递增，故一定有f（m）=m，f（n）=n，不难得出m，n是方程 的两个不等的正根,列出关系式可得a的取值范围.
【考点精析】本题主要考查了函数的值域和函数单调性的性质的相关知识点，需要掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的；函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集才能正确解答此题．