Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，BC=PC，E是PA的中点．
（1）求证：平面PBM⊥平面CDE；
（2）已知点M是AD的中点，点N是AC上一点，且平面PDN∥平面BEM．若BC=2AB=4，求点N到平面CDE的距离．

Answer 1

分析 （1）取PB的中点为F，连接CF和EF，证明DC⊥PB，CF⊥PB，即可证明平面PBM⊥平面CDE；
（2）利用V_N-DCE=V_E-DCN，能求出点N到平面CDE的距离．

解答 证明：（1）取PB的中点为F，连接CF和EF，
∵E是PA的中点，∴EF∥AB∥DC，
∴平面CDE与平面CDEF为同一平面，
∵PC⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，
∴DCPC，DC⊥BC，即DC⊥平面PBC，∴DC⊥PB．
∵BC=PC，∴CF⊥PB，
∵CD∩CF=C，∴PB⊥平面CDE．
∵PB?平面PBM，∴平面PBM⊥平面CDE．
（2）解：过D作DG∥BM交BC于G，连接PG，
∵M是AD的中点，∴EM∥PD，
∵PD∩DG=D，∴平面PDG∥平面BEM，
∴当N是AC与DG的交点时，平面PDN∥平面BEM，
在矩形ABCD中，由已知得$\frac{CN}{AN}$=$\frac{CG}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∵BC=2AB=4，∴S_△DCN=$\frac{1}{3}$，S_△DCN=2$\sqrt{2}$，
E到平面ABCD的距离为2，设点N到平面CDE的距离为d，
由V_N-DCE=V_E-DCN得$\frac{1}{3}$×$2\sqrt{2}d$=$\frac{1}{3}×2×\frac{4}{3}$，解得d=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的判定，考查等体积法求点到平面的距离，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．