Question

已知函数∅（x）=f（x）+g（x），其中f（x）是x的正比例函数，g（x）是x的反比例函数，且∅（

1

3

）=16，∅（1）=8．
（1）求∅（x）的解析式，并指出定义域；
（2）求∅（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）设出正比例函数，反比例函数，从而得到∅（x）的表达式，把∅（

1

3

）=16，∅（1）=8代入∅（x）的表达式得方程组，求得系数，求得∅（x）的解析式，使解析式有意义，得∅（x）的定义域；
（2）把函数解析式转化为关于x的一元二次方程，利用判别式△≥0求得∅（x）的值域．

解答：解：（1）设f（x）=ax，g（x）=

b

x

，a、b为比例常数，则∅（x）=f（x）+g（x）=ax+

b

x

由

?( 1 3 )=16 ?(1)=8

得

1 3 a+3b=16 a+b=8

，解得

a=3 b=5

∴∅（x）=3x+

5

x

，其定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
（2）由y=3x+

5

x

，得3x²-yx+5=0（x≠0）
∵x∈R且x≠0，∴△=y²-60≥0，∴y≥2

15

或y≤-2

15

∴∅（x）的值域为（-∞，-2

15

]∪[2

15

，+∞）

点评：待定系数法是求函数解析式最常用的一种方法，也是最容易掌握的一种方法；判别式法求函数的值域这种方法在削弱，题目不是太多．