Question

【题目】已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，若对任意的x，y∈R，等式f（y﹣3）+f（ ）=0恒成立，则 的取值范围是（ ）
A.[2﹣ ，2+ ]
B.[1，2+ ]
C.[2﹣ ，3]
D.[1，3]

Answer 1

【答案】C
【解析】解：函数y=f（x）的图象可由y=f（x﹣1）的图象向左平移1个单位得到，
由于y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，
则y=f（x）的图象关于原点对称，
则f（x）为奇函数，即有f（﹣x）=﹣f（x），
则等式f（y﹣3）+f（ ）=0恒成立即为
f（y﹣3）=﹣f（ ）=f（﹣ ），
又f（x）是定义在R上的增函数，则有y﹣3=﹣ ，
两边平方可得，（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，
即有y=3﹣ 为以（2，3）为圆心，1为半径的下半圆，
则 = 可看作是半圆上的点与原点的连线的斜率，
如图，kOA= =3，取得最大，过O作切线OB，设OB：y=kx，
则由d=r得， =1，解得，k=2 ，
由于切点在下半圆，则取k=2﹣ ，即为最小值．
则 的取值范围是[2﹣ ，3]．
故选C．

【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的性质的相关知识，掌握函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集．